resposta

 Teoria dos Numeros e ´ Algebra ´ AD1 - Primeira Avaliac¸ao a Dist ˜ ancia - 2022.2 - Aulas 1 a 5 ˆ Questao 1: ˜ (2, 5 pontos) Sejam X1, X2, Y1, Y2 subconjuntos do conjunto-universo U. Suponha que X1 ∪ X2 = U e Y1 ∩ Y2 = ∅, que X1 ⊂ Y1 e que X2 ⊂ Y2. Prove que X1 = Y1 e X2 = Y2. Questao 2: ˜ (2, 5 pontos) A expansao de Cantor ˜ de um numero inteiro positivo ´ a e a soma ´ a = ann! + an−1(n − 1)! + ... + a22! + a11!, em que ai ∈ Z com 0 ⩽ a1 ⩽ i, para i = 1, 2, ..., n e an ̸= 0. Assim, por exemplo, a expansao de Cantor de ˜ 110 e dada por ´ 110 = 4 · 4! + 2 · 3! + 1 · 2! + 0 · 1! (a) (1,0 ponto) Encontre a expansao de Cantor de ˜ 719; (b) (1,5 pontos) Prove, por induc¸ao, que para todo ˜ m ⩾ 2 vale mX−1 j=1 j · j! = m! − 1. Questao 3: ˜ (2, 5 pontos) Sejam a, b ∈ Z e n ∈ N. Prove, por induc¸ao, que ˜ a − b divide a n − b n . Questao 4: ˜ (2,5 pontos) Prove que se a = bq + r, entao˜ mdc(a, b) = mdc(b, r). 1